معادله‌ی اویلر-لاگرانژ

معادله‌ی اویلر-لاگرانژ در دهه‌ی 1750 میلادی، به وسیله‌ی اویلر و لاگرانژ به دست آمد، زمانی که آن‌ها مشغولِ حلِ مسئله‌ی خم هم‌زمانی بودند. مسئله‌ی منحنی هم‌زمانی درباره‌ی این است که چه‌طور می‌توان منحنی‌ای پیدا کرد که اگر از رویِ آن منحنی توپی را رها کنیم، زمانِ رسیدنِ توپ به پایینِ منحنی مقدارِ ثابتی باشد و فرقی نکند که توپ را از چه ارتفاعی از منحنی به پایین رها کرده‌ایم.
لاگرانژ این مسئله را در سال 1755 حل کرد و جواب را برایِ اویلر فرستاد. این دو به کمکِ هم، متدِ لاگرانژ را گسترش دادند و در حلِ‌ مسئله‌هایِ مکانیک به کار گرفتند، تلاشی که در نهایت به خلقِ مکانیک لاگرانژی ختم شد. مکاتبه‌هایِ آن‌ها، به خلقِ کاملِ حسابِ وردشی منجر شد، نخستین بار در سالِ 1766، اویلر بود که این نام را برایِ تکنیک‌های‌شان به کار برد.

صورت معادله

معادله‌ی لاگرانژ، معادله‌ای است که با حلِ آن، تابعِ qای را می‌یابیم که به ازایِ آن، مقدارِ انتگرالِ پایین کمینه یا بیشینه می‌شود:

\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t:

بخش‌هایِ مختلفِ این انتگرال عبارت‌اند از:

  • q: تابع‌هایِ مختلفی وجود دارند که می‌توانند در داخلِ انتگرال قرار بگیرند. به ازایِ هر کدام از این تابع‌ها، مقدارِ‌ انتگرال (بینِ دو کرانِ آن که مقدارهایی ثابت‌اند)، مقداری متفاوت می‌شود. q تابعی است که می‌خواهیم بیابیم و مقدارِ‌ انتگرال را اکسترمم کند:
\begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}
که q مشتق‌پذیر است و q(a) = xa , q(b) = xb .
  • q': مشتقِ تابعِ q است.
\begin{align}
q' \colon [a, b] & \to     T_{q(t)}X \\
               t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}
که TX کلاف مماسیِ X است. (فضایِ مقدارهایِ ممکنِ مشتق‌هایِ تابع‌هایی که مقدارشان در X قرار دارد.)
\begin{align}
L \colon [a, b] \times X \times TX & \to     \mathbb{R} \\
                         (t, x, v) & \mapsto L(t, x, v).
\end{align}
L تابعی است ثابت و معین که به عنوانِ ورودیِ یک تابعِ دلخواهِ دیگر را (به همراهِ مشتقش) گرفته و ترکیبی از این تابع و مشتق‌اش را به عنوانِ خروجی ارائه می‌کند.

در این صورت معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، معادله‌ی زیر است که هر تابعِ qای که در آن صدق کند، مقدارِ انتگرال را اکسترمم می‌کند:

L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.

در رابطه‌ی بالا، Lx مشتقِ جزئیِ L نسبت به q و Lv مشتقِ جزئیِ L نسبت به q' می‌باشد.

مثال

یک مثالِ استاندارد این است که تابعی پیدا کنید که از نقطه‌ی a به نقطه‌ی b برود و کمترین مسیرِ ممکن را طی کند. (f(a) = c و f(b) = d) اولین کاری که باید بکنیم، این است که انتگرالی پیدا کنیم که حلِ آن طولِ مسیر را به دست بدهد. به این ترتیب با مشتقِ جزئی گرفتن از انتگرال‌ده، می‌توانیم تابعی که انتگرال را کمینه یا بیشینه می‌کند بیابیم.

 \ell (f) = \int_{a}^{b} dl

dl که طولِ یک جزء از مسیر است به کمکِ قضیه فیثاغورس به شکلِ زیر به دست می‌آید:

 dl^2 = dx^2 + dy^2

با جایگذاریِ آن در انتگرال داریم:

 \ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{dx^2+dy^2}

اگر از dx فاکتور بگیریم و آن را از زیرِ رادیکال بیرون بیاوریم و به یاد داشته باشیم که dy/dx همان مشتق تابعِ f است، در نهایت رابطه‌ی زیر را خواهیم داشت:

 \ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x,

L\left(x,y,y'\right) = \sqrt{1+y'^2} تابعی است که باید از آن انتگرال‌گیری کنیم. حال به کمکِ رابطه‌ی اویلر-لاگرانژ باید تابعِ yای را پیدا کنیم که انتگرالِ L را کمینه می‌کند. مشتق‌هایِ جزئیِ L عبارت‌اند از:

\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.

با جایگذاریِ این دو مقدار در معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، به دست می‌آوریم:

 
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} &= 0 \\ 
\frac{f'(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} &= C = \text{constant} \\
\Rightarrow f'(x)&= \frac{C}{\sqrt{1-C^2}} := A \\
\Rightarrow f(x) &= Ax + B
\end{align}

نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s