امید ریاضی

برای فرآیندهای پیوسته [۵]این قضیه بیان می‌کند که اگر  x یک فرآیند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی (که خودکواریانس نیز خوانده می‌شود) آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \

وجود داشته و با ازای هر مقدار  \tau متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک نوای  F(f) برای بسامدهای  -\infty <f <\infty وجود دارد به طوری که:


r_{xx} (\tau) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i\tau f}  dF(f)

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتجس است.

Wiki letter w cropped.svg  

برای فرآیندهای گسسته زمان

برای فرآیندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع x[n]\, برابر است با

 S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-i(2\pi f) k}

که در آن

r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \

همان تابع گسسته خودبستگی x[n]\, – به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن  x – است

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s